تدریس ریاضی

قضیه سینوس‌ها و کاربرد آن در حل مسائل هندسه سال یازدهم
سوالی مثل مطابق شکل (دایره) در ویدئوی آموزشی, مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید؟
لطفا مطالب گفته شده در فیلم را با دقت گوش دهید.

قضیه سینوس‌ها چیست؟
قضیه سینوس‌ ها (Theorem of Sines) یکی از قضایای اساسی در مثلثات است که رابطه‌ای بین طول اضلاع یک مثلث و سینوس زوایای مقابل به آن اضلاع برقرار می‌کند. این قضیه بیان می‌کند که در هر مثلث دلخواه (چه قائم‌الزاویه و چه غیرقائم‌الزاویه)، نسبت طول هر ضلع به سینوس زاویه مقابل به آن ضلع، مقداری ثابت است.
اگر یک مثلث با اضلاع a،b،c و زوایای مقابل به آن‌ها به ترتیب A،B،C داشته باشیم، قضیه سینوس‌ها به صورت زیر بیان می‌شود:

sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R

در این رابطه، R شعاع دایره محیطی مثلث است. این بخش آخر قضیه (مساوی بودن با 2R) در بسیاری از مسائل کاربرد دارد.

کاربردهای قضیه سینوس‌ها در حل مسائل هندسه:
قضیه سینوس‌ها ابزاری قدرتمند برای حل بسیاری از مسائل هندسی مربوط به مثلث‌ها است، به ویژه در مواردی که مثلث غیرقائم‌الزاویه باشد. برخی از مهم‌ترین کاربردهای آن عبارتند از:
محاسبه اضلاع مجهول: اگر دو زاویه و یک ضلع از یک مثلث معلوم باشند، می‌توان از قضیه سینوس‌ها برای یافتن طول دو ضلع دیگر استفاده کرد. برای مثال، اگر زوایای A و B و ضلع a معلوم باشند، می‌توان ضلع b را به صورت زیر محاسبه کرد:
b=asinAsinB​
محاسبه زوایای مجهول: اگر دو ضلع و زاویه مقابل به یکی از آن‌ها معلوم باشد، می‌توان سینوس زاویه مقابل به ضلع دیگر را محاسبه کرد. با این حال، باید توجه داشت که ممکن است دو مقدار برای زاویه وجود داشته باشد (به دلیل اینکه sinè=sin(180∘−è))، بنابراین باید با توجه به شرایط مسئله، جواب درست را انتخاب کرد. به این حالت، حالت مبهم در قضیه سینوس‌ها گفته می‌شود.

حل مثلث‌های غیرقائم‌الزاویه: قضیه سینوس‌ها به ما امکان می‌دهد تا با داشتن برخی اطلاعات (مانند دو زاویه و یک ضلع، یا دو ضلع و زاویه مقابل به یکی از آن‌ها)، تمام زوایا و اضلاع یک مثلث غیرقائم‌الزاویه را پیدا کنیم.

محاسبه شعاع دایره محیطی مثلث: همانطور که در فرمول قضیه سینوس‌ها دیدیم، نسبت sinAa​=sinBb​=sinCc​ برابر با قطر دایره محیطی مثلث (2R) است. بنابراین، اگر اضلاع و زوایای مثلث معلوم باشند، می‌توان شعاع دایره محیطی آن را محاسبه کرد.

اثبات برخی قضایای هندسی: قضیه سینوس‌ها می‌تواند در اثبات برخی دیگر از قضایای هندسی مربوط به مثلث‌ها مورد استفاده قرار گیرد.

مثال‌هایی از کاربرد قضیه سینوس‌ها:
مثال 1: در مثلث ABC، اگر A=45∘، B=60∘ و a=10 سانتی‌متر باشد، طول ضلع b را پیدا کنید.
با استفاده از قضیه سینوس‌ها:
 sinAa​=sinBb​   sin45∘10​=sin60∘b​   b=10sin45∘sin60∘​=1022​​23​​​=102​3​​=1026​​=56​ سانتی‌متر
مثال 2: در مثلث PQR، اگر p=8 سانتی‌متر، q=6 سانتی‌متر و P=30∘ باشد، زاویه Q را پیدا کنید.
با استفاده از قضیه سینوس‌ها:
sinPp​=sinQq​   sin30∘8​=sinQ6​   sinQ=86sin30∘​=86×21​​=83​
بنابراین، Q=arcsin(83​). در اینجا ممکن است دو جواب برای Q وجود داشته باشد، یکی حاده و دیگری منفرجه که مکمل آن است. برای تعیین جواب درست، باید به اطلاعات دیگر مسئله یا شکل مثلث توجه کرد.

نکات مهم در استفاده از قضیه سینوس‌ها:
همیشه اطمینان حاصل کنید که زوایا بر حسب درجه یا رادیان به درستی وارد محاسبات می‌شوند.
در حالت مبهم (وقتی دو ضلع و زاویه مقابل به یکی از آن‌ها معلوم است)، ممکن است صفر، یک یا دو مثلث با شرایط داده شده وجود داشته باشد. باید با دقت تحلیل کنید که کدام حالت رخ می‌دهد.
قضیه سینوس‌ها به ویژه برای مثلث‌های غیرقائم‌الزاویه بسیار مفید است، اما در مثلث‌های قائم‌الزاویه نیز قابل استفاده است (اگرچه ممکن است روش‌های ساده‌تری نیز وجود داشته باشد). هندسه یازدهم

توجه نمائید اگر به دبیر هندسه و ریاضیات بصورت اینترنتی نیازمند بودید, می توانید با ما تماس بگیرید. 01342820707_09113452414
دیدن این فیلم در یوتیوب آموزش ریاضی و هندسه توربو لرن:  https://youtube.com/shorts/gAkcqk5h_-0