تدریس ریاضی

قضیه اساسی تشابه مثلث‌ها یکی از مفاهیم مهم در هندسه پایه دهم است که به بررسی رابطه بین مثلث‌های مشابه می‌پردازد. در ادامه توضیح کاملی درباره این قضیه ارائه می‌شود:

تعریف تشابه مثلث‌ها

دو مثلث مشابه هستند اگر زوایای متناظر آن‌ها برابر باشند و نسبت اضلاع متناظر آن‌ها یکسان باشد. به عبارت دیگر، اگر دو مثلث △ABC triangle ABC △ABC و △DEF triangle DEF △DEF مشابه باشند (یعنی △ABC∼△DEF triangle ABC sim triangle DEF △ABC∼△DEF)، آنگاه:

1. ∠A=∠D angle A = angle D ∠A=∠D، ∠B=∠E angle B = angle E ∠B=∠E، ∠C=∠F angle C = angle F ∠C=∠F
2. نسبت اضلاع متناظر برابر است: ABDE=BCEF=CAFD=kfrac{AB}{DE} = frac{BC}{EF} = frac{CA}{FD} = kDEAB​=EFBC​=FDCA​=k که k k k ضریب تشابه نامیده می‌شود.

قضیه اساسی تشابه مثلث‌ها

قضیه: اگر در دو مثلث، زوایای متناظر برابر باشند و نسبت اضلاع متناظر یکسان باشد، آنگاه این دو مثلث مشابه هستند.

به طور خلاصه، برای اثبات تشابه دو مثلث، کافی است یکی از حالت‌های زیر برقرار باشد:

1. معیار زاویه-زاویه (AA): اگر دو زاویه در یک مثلث با دو زاویه در مثلث دیگر برابر باشند، دو مثلث مشابه هستند (چون زاویه سوم نیز خودبه‌خود برابر خواهد بود، زیرا مجموع زوایای هر مثلث 180∘ 180^circ 180∘ است).
2. معیار ضلع-ضلع-ضلع (SSS): اگر نسبت سه ضلع متناظر در دو مثلث برابر باشد، آن دو مثلث مشابه هستند.
3. معیار ضلع-زاویه-ضلع (SAS): اگر نسبت دو ضلع متناظر در دو مثلث برابر باشد و زاویه بین این دو ضلع نیز برابر باشد، آن دو مثلث مشابه هستند.

کاربردهای قضیه تشابه

1. محاسبه طول اضلاع نامعلوم: با استفاده از نسبت‌های تشابه، می‌توان طول اضلاع نامعلوم در مثلث‌ها را محاسبه کرد.
2. اثبات تساوی زوایا: از تشابه برای نشان دادن تساوی زوایای متناظر استفاده می‌شود.
3. حل مسائل هندسی: تشابه در حل مسائل مربوط به ارتفاع، سایه، و اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم (مانند محاسبه ارتفاع یک ساختمان با استفاده از سایه) کاربرد دارد.
4. تقسیم‌بندی پاره‌خط: قضیه تالس (که نتیجه‌ای از تشابه است) بیان می‌کند که اگر خطی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شود، اضلاع دیگر را به نسبت‌های برابر تقسیم می‌کند.

مثال

فرض کنید △ABC∼△DEF triangle ABC sim triangle DEF △ABC∼△DEF و طول اضلاع AB=6 AB = 6 AB=6، BC=8 BC = 8 BC=8، CA=10 CA = 10 CA=10 و DE=9 DE = 9 DE=9 باشد. اگر بخواهیم طول EF EF EF را پیدا کنیم:

• چون مثلث‌ها مشابه‌اند، نسبت اضلاع متناظر برابر است: ABDE=BCEFfrac{AB}{DE} = frac{BC}{EF}DEAB​=EFBC​ 69=8EFfrac{6}{9} = frac{8}{EF}96​=EF8​
• با حل معادله: EF=8×96=12EF = frac{8 times 9}{6} = 12EF=68×9​=12

پس طول EF EF EF برابر 12 است.

نکات مهم

• تشابه یک رابطه هندسی است که شکل مثلث‌ها را حفظ می‌کند، اما اندازه آن‌ها ممکن است متفاوت باشد.
• ضریب تشابه k k k نشان‌دهنده نسبت بزرگنمایی یا کوچک‌نمایی یک مثلث نسبت به دیگری است.
• در مسائل تشابه، همیشه به دنبال زوایای برابر یا نسبت‌های اضلاع باشید.

برای دیدن فیلم ویدیویی این سوال, روی همین خط ضربه بزنید

کلاسهای آنلاین ریاضی
آموزشگاه ریاضیات توربولرن
01342820707_09113452414