تدریس ریاضی

کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم در ریاضیات پایه هفتم

یکی از زیباترین موضوعات ریاضی پایه هفتم، بحث کاشی‌کاری صفحه (Tessellation) با چندضلعی‌های منتظم است. یعنی می‌خواهیم تمام صفحه را با چندضلعی‌های هم‌سان و بدون هیچ فاصله یا روی هم افتادگی بپوشانیم.

چندضلعی منتظم یعنی همه ضلع‌ها و همه زاویه‌هایش برابر باشد (مثل مربع، مثلث متساوی‌الاضلاع، شش‌ضلعی منتظم و ...).

شرط اصلی برای اینکه یک چندضلعی منتظم بتواند به تنهایی صفحه را کاشی‌کاری کند این است که: مجموع زاویه‌های اطراف یک نقطه (رأس) دقیقاً 360 درجه شود.

چون دایره کامل 360 درجه است و کاشی‌ها باید دقیقاً دور یک نقطه بچرخند و هیچ فاصله‌ای نماند.

حالا بیایید چندضلعی‌های منتظم معروف را بررسی کنیم:

1. مثلث متساوی‌الاضلاع زاویه داخلی = 60 درجه چند تا از این مثلث‌ها دور یک نقطه جا می‌شود؟ 360 ÷ 60 = 6 پس 6 تا مثلث متساوی‌الاضلاع دور یک رأس می‌آیند → کاشی‌کاری ممکن است. (همه صفحه با مثلث‌های هم‌سان پوشیده می‌شود)

2. مربع زاویه داخلی = 90 درجه 360 ÷ 90 = 4 دقیقاً 4 مربع دور یک نقطه → کاشی‌کاری کاملاً ممکن (معروف‌ترین کاشی‌کاری)

3. پنج‌ضلعی منتظم زاویه داخلی ≈ 108 درجه 360 ÷ 108 ≈ 3.33 عدد صحیح نیست! یعنی یا فاصله می‌ماند یا روی هم می‌افتند → پنج‌ضلعی منتظم به تنهایی نمی‌تواند صفحه را کاشی‌کاری کند.

4. شش‌ضلعی منتظم زاویه داخلی = 120 درجه 360 ÷ 120 = 3 دقیقاً 3 شش‌ضلعی دور یک نقطه → کاشی‌کاری عالی (مثل کندوی زنبور عسل!)

5. هفت‌ضلعی و بیشتر زاویه داخلی آن‌ها از 128.57 درجه (هفت‌ضلعی) به بالا می‌رود. 360 تقسیم بر عددی بزرگ‌تر از 120 می‌شود کمتر از 3 → یا فاصله می‌ماند یا نمی‌چسبند. پس هیچ چندضلعی منتظمی با 7 ضلع یا بیشتر نمی‌تواند به تنهایی صفحه را کاشی‌کاری کند.

نتیجه مهم درس هفتم: فقط سه چندضلعی منتظم می‌توانند به تنهایی تمام صفحه را بدون فاصله و روی هم افتادن بپوشانند:

• مثلث متساوی‌الاضلاع (6 تا دور یک نقطه)
• مربع (4 تا دور یک نقطه)
• شش‌ضلعی منتظم (3 تا دور یک نقطه)

این سه کاشی‌کاری را «کاشی‌کاری منتظم صفحه» یا Regular Tessellation می‌نامند و فقط همین سه نوع وجود دارد!

نکته جالب: زنبورهای عسل دقیقاً از شش‌ضلعی استفاده می‌کنند چون با کمترین موم، بیشترین حجم را ذخیره می‌کنند و کاملاً بدون اتلاف فضا کنار هم قرار می‌گیرند؛ طبیعت خودش بهترین مهندس ریاضی است!

برای دیدن فیلمهای آموزشی ریاضیات و هندسه (کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم) روی همین خط کلیک نمائید.