تدریس ریاضی

اعداد گنگ در ریاضی پایه نهم همراه با مفاهیم کلیدی و نمونه سوالات امتحانی

در ریاضی پایه نهم، یکی از موضوعات جذاب فصل اعداد واقعی، اعداد گنگ هستند. اعداد گنگ اعدادی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسر a/b (که a و b اعداد صحیح و b≠0 باشند) نوشت و در نمایش اعشاری‌شان، رقم‌های اعشاری نامتناهی و غیرتناوبی هستند؛ یعنی هیچ الگویی تکرار نمی‌شود.

تفاوت اعداد گنگ با اعداد گویا

• اعداد گویا: همه اعداد صحیح، کسری و اعشاری متناهی یا تناوبی (مثل 0/25، 1/3 = 0/333…، -4).
• اعداد گنگ: اعشاری نامتناهی و بدون تکرار (مثل √2، √3، π، e).

مثال‌های معروف اعداد گنگ

• √2: جذر 2 حدود 1/414213562… است و رقم‌ها هیچ‌گاه تکرار نمی‌شوند.
• √3, √5, √7 و اکثر جذرهای اعداد صحیح که مربع کامل نیستند.
• π (نسبت محیط دایره به قطر آن) ≈ 3/1415926535…
• e (پایه لگاریتم طبیعی) ≈ 2/718281828…

چگونگی اثبات گنگی یک عدد (به زبان ساده برای پایه نهم)

یکی از روش‌های رایج، فرض تناقض است. مثلاً برای √2: فرض کنید √2 گویا باشد، یعنی √2 = a/b که a و b اعداد صحیح و کوچک‌ترین کسر ممکن هستند. آنگاه 2 = a²/b² → a² = 2b². این یعنی a² زوج است → a زوج است → a = 2k. جایگذاری می‌دهد 4k² = 2b² → b² = 2k² → b هم زوج است. اما این با فرض کوچک‌ترین کسر بودن تناقض دارد! پس √2 گنگ است.

نکات مهم امتحانی

• هر جذر عدد اول (مثل √2، √3، √5، √7، √11) گنگ است.
• اگر زیر جذر مربع کامل باشد (مثل √16 = 4)، عدد گویاست.
• جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد گنگ با یکدیگر یا با اعداد گویا معمولاً گنگ است (مگر موارد خاصی مثل √2 + (-√2) = 0).
• توان‌های صحیح عدد گنگ ممکن است گویا شود (مثل (√2)² = 2).

نمونه سوالات امتحانی (طراحی‌شده و یونیک)

1. درست یا نادرست؟ (با دلیل کوتاه) الف) عدد √9 گویاست. ب) عدد √8 گنگ است. پ) عدد π + 1 گنگ است. ت) عدد 0/121212121… (تکرار 121) گنگ است.

2. کدام یک از اعداد زیر گنگ است؟ الف) 0/25 ب) 3/14 پ) √16 ت) √17

3. بدون ماشین‌حساب تعیین کنید کدام گزینه گنگ است: الف) √36 + √4 ب) √8 × √2 پ) √50 - √18 ت) √45

4. اثبات کنید که √5 گنگ است. (با روش فرض تناقض، مشابه √2)

5. عدد زیر را به صورت ساده‌شده بنویسید و بگویید گویا یا گنگ است: 3√8 + 2√18 - √32

6. حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید و نوع آن (گویا یا گنگ) را مشخص کنید: (√5 + 2)(√5 - 2)

7. اگر a عدد گنگ و b عدد گویا و غیرصفر باشد، آیا a × b حتماً گنگ است؟ با مثال توضیح دهید.

پاسخ‌های کوتاه نمونه (برای خودارزیابی)

1. الف) درست (4) ب) درست (2√2) پ) درست (π گنگ است، جمع با گویا گنگ می‌ماند) ت) نادرست (تناوبی است) 2. ت) √17 3. فقط گزینه ت گنگ است (بقیه ساده می‌شوند به اعداد گویا). 6. حاصل 3 (گویا).

اعداد گنگ دریچه‌ای به دنیای بی‌نهایت ریاضیات باز می‌کنند و نشان می‌دهند که همه چیز را نمی‌توان با کسرهای ساده توصیف کرد. تسلط بر تشخیص و عملیات آن‌ها یکی از مهم‌ترین مهارت‌های فصل اعداد واقعی پایه نهم است. موفق باشید!

فیلم روش حل سوالات مربوط به اعداد گنگ ریاضی نهم با کلیک روی همین نوشته ببینید.