تدریس ریاضی

اگر کسر 1afrac{1}{a}a1​ (که aaa عدد طبیعی و کوچک‌تر از 1 است نه، بلکه منظور kafrac{k}{a}ak​ با k

حالا سوال این است: در میان تمام aaaهایی که 1afrac{1}{a}a1​ اعشار مختوم می‌دهد، چه کسری از آن‌ها مضرب 5 هستند؟

تعداد چنین aaaهایی برای هر جفت اندیس (x,y)(x,y)(x,y) دقیقاً یکی است. همهٔ جفت‌های ممکن (x,y)(x,y)(x,y) برابرحق هستند.

• وقتی y≥1y geq 1y≥1 → aaa مضرب 5 است.
• وقتی y=0y = 0y=0 → a=2xa = 2^xa=2x و مضرب 5 نیست.

نسبت حالتی که y≥1y geq 1y≥1 است به کل حالات، دقیقاً برابر نسبت حالتی است که حداقل یک 5 داریم.

بهترین و عادلانه‌ترین راه شمردن، نگاه کردن به بالاترین اندیس ممکن نیست، بلکه حد گرفتن وقتی حداکثر اندیس مجاز nnn به سمت بی‌نهایت می‌رود:

تعداد کل جفت‌ها (x,y)(x,y)(x,y) با x,y≤nx,y leq nx,y≤n برابر (n+1)2(n+1)^2(n+1)2 است.

تعداد حالتی که y≥1y geq 1y≥1 است: (n+1)n(n+1)n(n+1)n.

پس احتمال = (n+1)n(n+1)2=nn+1dfrac{(n+1)n}{(n+1)^2} = dfrac{n}{n+1}(n+1)2(n+1)n​=n+1n​

وقتی n→∞n to inftyn→∞، این نسبت به 1 میل می‌کند!

نتیجهٔ شگفت‌انگیز و یونیک: احتمال اینکه aaa مضرب 5 باشد، در بین همهٔ مخرج‌هایی که کسرهای با اعشار مختوم می‌سازند، دقیقاً 100٪ نیست ولی به‌طور حدی 1 است، یعنی تقریباً همهٔ چنین aaaهایی مضرب 5 هستند!

به زبان ساده: اگر 1afrac{1}{a}a1​ اعشار مختوم باشد، با احتمال «تقریباً 100٪» عدد aaa مضرب 5 است (تنها استثناها توان‌های خالص 2 هستند که خیلی نادرند).

دوستان برای درک بهتر این سوال بهتر است با کلیک روی همین خط, به فیلم آموزشی و روش حل این سوال امتحانی توجه کنید.