تدریس ریاضی

حل معادلات برداری در فصل 5 ریاضی پایه هشتم (بردار و مختصات)

در فصل پنجم کتاب ریاضی هشتم، پس از آشنایی با جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات (i و j)، به معادلات برداری می‌رسیم. معادله برداری، معادله‌ای است که در آن مجهول یک بردار کامل (با اندازه و جهت) است، نه فقط یک عدد.

برای حل این معادلات، معمولاً دو روش اصلی وجود دارد:

1. **روش ترسیمی (گرافیکی):**  
   با رسم بردارها و استفاده از قوانین جمع (روش مثلثی یا متوازی‌الاضلاع) و ضرب عدد در بردار، بردار مجهول را به صورت تقریبی یا دقیق رسم می‌کنیم. این روش بیشتر برای درک مفهومی مفید است.

2. **روش مختصاتی (تحلیلی):**  
   این روش دقیق‌تر و رایج‌تر برای حل است. مراحل آن به این صورت است:  
   - همه بردارها را بر حسب بردارهای واحد مختصات (i و j) بنویسید. مثلاً:  
     بردار (vec{A} = a_1 vec{i} + a_2 vec{j}) (که (a_1) طول و (a_2) عرض است).  
   - معادله را به صورت مختصاتی بازنویسی کنید. چون دو بردار برابر هستند اگر و فقط اگر مختصات طول و عرض‌شان برابر باشد.  
   - معادله برداری به دو معادله عددی جداگانه تبدیل می‌شود (یکی برای طول، یکی برای عرض).  
   - این دو معادله را مانند معادلات معمولی حل کنید تا مختصات بردار مجهول به دست آید.  
   - در نهایت، بردار مجهول را رسم یا بنویسید.

مثال ساده:
فرض کنید معادله: (vec{x} + 2vec{A} = vec{B})  
بردار (vec{A}) مختصات [3, 1] و بردار (vec{B}) مختصات [5, 4] داشته باشد.

- ابتدا (2vec{A} = 2[3, 1] = [6, 2])  
- معادله: (vec{x} + [6, 2] = [5, 4])  
- پس (vec{x} = [5, 4] - [6, 2] = [-1, 2])  

(اینجا از خاصیت جمع و تفریق مختصاتی استفاده کردیم.)

مثال پیچیده‌تر:
معادله: (3vec{x} - vec{A} = 2vec{B} + vec{C})

- همه را به یک سمت ببرید: (3vec{x} = 2vec{B} + vec{C} + vec{A})  
- سپس (vec{x} = frac{1}{3} (2vec{B} + vec{C} + vec{A}))  
- حالا مختصات را محاسبه کنید: ابتدا جمع داخل پرانتز را مختصاتی انجام دهید، سپس در 1/3 ضرب کنید.

نکته مهم: همیشه به جهت بردارها (علامت مثبت یا منفی در مختصات) توجه کنید. اگر ضریب منفی باشد، جهت بردار عوض می‌شود.

با تمرین روی مسائل کتاب (صفحات 78 تا 81 و مرور فصل صفحه 82)، این روش را خوب یاد می‌گیرید. این مبحث پایه‌ای برای فیزیک (نیروها و حرکت) و ریاضیات بالاتر است!

برای مشاهده فیلم آموزشی حل معادلات ریاضی توسط دبیر مربوطه, روی همین خط کلیک کنید.