تدریس ریاضی

حل دستگاه معادلات خطی با دو معادله و جواب‌های بی‌شمار

در جبر خطی، وقتی با یک دستگاه دو معادله خطی با دو مجهول (مثل x و y) روبرو هستیم، سه حالت ممکن است رخ دهد: یک جواب منحصر به فرد، هیچ جوابی، یا جواب‌های بی‌شمار. حالت آخر که سوال شما درباره آن است، زمانی اتفاق می‌افتد که دو معادله در واقع معادل یکدیگر باشند، یعنی یکی از دیگری به دست آمده باشد و اطلاعات جدیدی اضافه نکند.

شرایط وقوع جواب‌های بی‌شمار
فرض کنید دستگاه به شکل زیر باشد:

ax + by = c  
a'x + b'y = c'

اگر ضریب‌های معادله دوم دقیقاً مضربی از ضریب‌های معادله اول باشند (یعنی a'/a = b'/b = c'/c)، آنگاه دو معادله یکی هستند و دستگاه فقط یک معادله مستقل دارد. در این حالت، به جای دو خط متقاطع (که یک نقطه مشترک دارند)، دو خط کاملاً هم‌سان (روی هم افتاده) هستند و هر نقطه روی این خط، جواب دستگاه است. بنابراین جواب‌ها بی‌شمارند و یک خط کامل را تشکیل می‌دهند.

مثال ساده
دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

2x + 4y = 6  
4x + 8y = 12

معادله دوم دقیقاً دو برابر معادله اول است (هر دو ضریب و سمت راست را در 2 ضرب کنیم). پس این دو معادله یکی هستند. معادله اصلی را ساده کنیم:

x + 2y = 3  
یا به شکل y = (3 - x)/2

هر مقداری که برای x انتخاب کنیم، y متناسب با آن به دست می‌آید. مثلاً:
- اگر x = 1 باشد، y = 1
- اگر x = 3 باشد، y = 0
- اگر x = -1 باشد، y = 2

پس جواب‌ها تمام نقاط روی خط x + 2y = 3 هستند و بی‌شمارند.

مثال دیگر (برای مقایسه)
حالا دستگاه زیر را ببینید:

2x + 4y = 6  
4x + 8y = 14

اینجا هم ضریب‌ها دو برابر هستند، اما سمت راست نیست (14 ≠ 12). بنابراین معادلات ناسازگار هستند و هیچ جوابی ندارند (دو خط موازی و جدا از هم).

روش تشخیص بدون حل کامل
برای تشخیص سریع حالت جواب‌های بی‌شمار، می‌توانید از ماتریس ضرایب یا روش حذف استفاده کنید:

1. یکی از مجهول‌ها را حذف کنید (مثلاً x را با ضرب و تفریق معادلات حذف کنید).  
2. اگر در نهایت به تساوی درست (مثل 0=0) برسید، جواب‌ها بی‌شمارند.  
3. اگر به تساوی نادرست (مثل 0=5) برسید، هیچ جوابی وجود ندارد.  
4. اگر به مقدار مشخصی برای یکی از مجهول‌ها برسید، جواب منحصر به فرد است.

در مثال اول:
معادله دوم منهای دو برابر معادله اول:  
(4x + 8y - 12) - 2(2x + 4y - 6) = 0 → 0 = 0  
پس جواب بی‌شمار.

کاربرد در مسائل واقعی
در مسائل هندسی، فیزیک یا اقتصاد، جواب‌های بی‌شمار به معنای وجود آزادی عمل است؛ مثلاً در تعادل نیروها یا بهینه‌سازی با یک محدودیت اصلی، راه‌حل‌های متعددی وجود دارد که همه شرایط را برآورده می‌کنند.

جواب‌های بی‌شمار زمانی رخ می‌دهند که دستگاه در واقع فقط یک معادله مستقل داشته باشد و معادلات روی یک خط هم‌سان قرار گیرند. این حالت نشان‌دهنده وابستگی خطی بین معادلات است و جواب‌ها یک خط کامل در صفحه را تشکیل می‌دهند.

برای دیدن فیلم آموزش حل دستگاه با دو معادله و جواب بی شمار, با کلیک وارد سایت تدریس ریاضیات آموزشگاه توربولرن شوید