مضربها و شمارنده های طبیعی و اول

بررسی مفاهیم مضرب‌ها، شمارنده‌های طبیعی و اعداد اول در ریاضی هفتم و هشتم

در کتاب ریاضی پایه هفتم، فصل پنجم به موضوع شمارنده‌ها (مقسوم‌علیه‌ها) و اعداد اول اختصاص دارد. این فصل پایه‌ای برای درک بهتر اعداد طبیعی است و شامل مفاهیمی مانند شمارنده، مضرب، عدد اول، تجزیه به شمارنده‌های اول، بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) و کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) می‌شود.

در پایه هشتم، فصل دوم با عنوان حساب عددهای طبیعی، این مفاهیم را یادآوری و گسترش می‌دهد و روش‌هایی مانند غربال برای شناسایی اعداد اول و مفهوم اعداد نسبت به هم اول را معرفی می‌کند.

مفاهیم کلیدی مشترک

شمارنده (مقسوم‌علیه) یک عدد: اعدادی که عدد اصلی بر آن‌ها بخش‌پذیر است. مثلاً شمارنده‌های 12 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12.
مضرب یک عدد: اعدادی که از ضرب عدد اصلی در اعداد طبیعی به دست می‌آیند. مثلاً مضرب‌های 5: 5، 10، 15، 20، ...
عدد اول: عددی بزرگ‌تر از 1 که فقط دو شمارنده دارد (1 و خودش). مثلاً 2، 3، 5، 7.
عدد مرکب: عددی بزرگ‌تر از 1 که بیش از دو شمارنده دارد (اول نیست).

اولین 12 عدد اول طبیعی عبارتند از: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37.

نکات مهم فصل 5 ریاضی هفتم

این فصل بر شناسایی شمارنده‌ها و مضرب‌ها تمرکز دارد:

هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 یا اول است یا مرکب.
تجزیه به شمارنده‌های اول: هر عدد را می‌توان به صورت ضرب شمارنده‌های اول نوشت (مانند 36 = 2×2×3×3).
ب.م.م دو عدد: بزرگ‌ترین عددی که هر دو را تقسیم می‌کند. روش محاسبه: تجزیه به شمارنده‌های اول و گرفتن شمارنده‌های مشترک با کم‌ترین توان.
ک.م.م دو عدد: کوچک‌ترین عددی که مضرب هر دو است. روش: تجزیه و گرفتن همه شمارنده‌ها با بیش‌ترین توان.

مثال: ب.م.م و ک.م.م اعداد 12 و 18 تجزیه: 12 = 2² × 3 ، 18 = 2 × 3² ب.م.م = 2 × 3 = 6 ک.م.م = 2² × 3² = 36

سوالات رایج: پیدا کردن تمام شمارنده‌ها، نوشتن مضرب‌ها، تجزیه عدد، محاسبه ب.م.م و ک.م.م برای ساده کردن کسرها یا مسائل واقعی.

نکات مهم فصل 2 ریاضی هشتم

این فصل یادآوری فصل هفتم است و پیشرفته‌تر:

اعداد نسبت به هم اول: اگر ب.م.م دو عدد 1 باشد (هیچ شمارنده مشترکی جز 1 ندارند).
روش غربال (الک اراتوستنس): برای پیدا کردن اعداد اول تا یک عدد مشخص، مضرب‌های اعداد اول را خط می‌زنیم.