تدریس ریاضی

مسائل مربوط به حجم کره محاط در استوانه در ریاضی پایه نهم

در فصل حجم و مساحت کره (فصل هشتم کتاب ریاضی نهم)، یکی از موضوعات جالب، بررسی کره‌ای است که در داخل یک استوانه محاط شده است. منظور از محاط شدن این است که کره به طور کامل داخل استوانه قرار گرفته و از بالا، پایین و اطراف با دیواره‌های استوانه مماس است. در این حالت، قطر کره برابر با ارتفاع استوانه و همچنین برابر با قطر قاعده استوانه می‌شود (یعنی شعاع کره برابر شعاع قاعده استوانه و ارتفاع استوانه برابر دو برابر شعاع کره است).

این موضوع برای کشف فرمول حجم کره استفاده می‌شود: حجم کره برابر 43πr3frac{4}{3}pi r^334​πr3 است و این فرمول از مقایسه با حجم استوانه به دست می‌آید، زیرا حجم کره دقیقاً 23frac{2}{3}32​ حجم استوانه محاط‌کننده آن است.

سوالات این بخش اغلب به صورت جاهای خالی، محاسباتی یا مقایسه‌ای طراحی می‌شوند و معمولاً شامل موارد زیر هستند:

• محاسبه شعاع یا قطر کره وقتی ابعاد استوانه (قطر قاعده یا ارتفاع) داده شده است.
• محاسبه حجم کره با استفاده از فرمول یا نسبت 23frac{2}{3}32​ حجم استوانه.
• محاسبه حجم استوانه محاط‌کننده.
• محاسبه حجم فضای خالی بین کره و استوانه (تفاضل حجم استوانه منهای حجم کره، که برابر 13frac{1}{3}31​ حجم استوانه است).
• مقایسه حجم‌ها یا پر کردن جاهای خالی در جملاتی مانند: «حجم کره _____ حجم استوانه‌ای است که در آن محاط شده است» (پاسخ: دو سوم).

نمونه یک مسئله رایج با جاهای خالی:

کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع ______ سانتی‌متر محاط شده است.

الف) شعاع کره را به دست آورید: ______ سانتی‌متر

ب) حجم استوانه برابر است با: ______ سانتی‌متر مکعب (با π = 3/14 یا تقریبی)

ج) حجم کره برابر ______ حجم استوانه است.

د) حجم فضای بین کره و استوانه برابر ______ سانتی‌متر مکعب است.

برای حل این مسائل، ابتدا رابطه ابعاد را یاد بگیرید: وقتی کره محاط است، همه ابعاد کلیدی (قطر قاعده استوانه، ارتفاع استوانه و قطر کره) برابر هستند. سپس از فرمول حجم استوانه V=πr2hV = pi r^2 hV=πr2h و نسبت 23frac{2}{3}32​ استفاده کنید.

تمرین این نوع سوالات کمک می‌کند تا فرمول حجم کره را عمیق‌تر درک کنید و در آزمون‌ها سریع‌تر حل کنید!

برای دیدن فیلم آموزشی مربوط به حجم کره محاط شده در استوانه, روی همین متن ضربه بزنید.