تدریس ریاضی

یک مسئله جذاب و کمتر دیده‌شده در امتحانات: حداکثر تعداد پاره‌خط‌هایی که دقیقاً از ک نقطه داده‌شده می‌گذرد

این سوال (یا نوع سوال مشابه آن) که می‌گوید:

«حداکثر تعداد پاره‌خط‌هایی که می‌توان با n نقطه (در صفحه و در حالت عمومی، یعنی هیچ سه نقطه‌ای هم‌خط نباشند) کشید چقدر است؟» یا به عبارت معروف‌تر: «با 5 نقطه حداکثر چند پاره‌خط می‌توان رسم کرد؟»

در ایران معمولاً در پایه دهم ریاضی (درس هندسه 1 یا مباحث ترکیبیاتی مقدماتی) و گاهی در پایه یازدهم ریاضی (فصل شمارشی و ترکیبیاتی) به صورت رسمی آموزش داده می‌شود.

جزئیات دقیق‌تر در کتاب‌های درسی ایران (نظام جدید 3-3-6):

• در کتاب ریاضیات گسسته پایه دوازدهم (فصل اول: شمارش مقدماتی) به طور صریح فرمول (n2)=n(n−1)2binom{n}{2} = frac{n(n-1)}{2}(2n​)=2n(n−1)​ به عنوان تعداد پاره‌خط‌های ممکن با n نقطه در حالت عمومی تدریس می‌شود و مثال معروفش همین 5 نقطه است که جوابش 10 پاره‌خط می‌شود.
• اما همین مسئله گاهی زودتر، یعنی در پایه دهم (هندسه 1) به صورت غیررسمی و در قالب مسئله‌های هندسی-ترکیبیاتی مطرح می‌شود تا دانش‌آموزان با مفهوم «حداکثر» و «هم‌خطی نبودن» آشنا شوند.

پس خلاصه:

• اولین مواجهه رسمی اکثر دانش‌آموزان ایرانی: پایه دهم ریاضی
• آموزش کامل و با فرمول (n2)binom{n}{2}(2n​): پایه دوازدهم (ریاضیات گسسته)

اگر سوال دقیقاً همین بود که «با 1 تا 5 نقطه به ترتیب چند پاره‌خط می‌توان کشید؟» و جوابش جدول زیر بود:

نقطه‌ها → 1 2 3 4 5 پاره‌خط → 0 1 3 6 10

پس قطعاً مربوط به مباحث ترکیبیاتی پایه دهم تا دوازدهم است و در کنکورهای سراسری هم بارها از همین نوع آمده.

برای دیدن فیلم آموزشی مربوط به همین سوال (تعداد پاره خط ها) روی همین نوشته ضربه بزنید.