تدریس ریاضی

تعداد نقاط با مختصات صحیح روی پارهٔ‌خط

فرض کنید دو نقطهٔ A(x1,y1)A(x_1, y_1)A(x_1, y_1) و B(x2,y2)B(x_2, y_2)B(x_2, y_2) داده شده‌اند که مختصات هر دو نقطه اعداد صحیح هستند. پارهٔ‌خط (AB) را در نظر بگیرید.می‌خواهیم بدانیم چند نقطه با مختصات صحیح (نقاط شبکه یا lattice points) روی این پارهٔ‌خط قرار دارند (شامل خود نقاط (A) و (B)).فرمولتعداد این نقاط برابر است با: gcd⁡(∣x2−x1∣,∣y2−y1∣)+1gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) + 1gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) + 1 که در آن gcd⁡gcdgcd بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک است.توضیح کوتاهاگر پارهٔ‌خط افقی یا عمودی باشد، تعداد نقاط به سادگی از اختلاف مختصات به دست می‌آید. در حالت کلی، تعداد نقاط میانی با مختصات صحیح برابر با gcd⁡(Δx,Δy)−1gcd(Delta x, Delta y) - 1gcd(Delta x, Delta y) - 1 است؛ بنابراین با احتساب دو سر پارهٔ‌خط، فرمول بالا حاصل می‌شود.

برای دیدن فیلم آموزشی این سوال, روی همین خط ضربه بزنید.